Elementi di un triangolo dati i tre lati

Testo

Un triangolo ha lati $a=9$, $b=8$, $c=13$.

(a) Determina tutti gli angoli $\alpha,\beta,\gamma$ (opposti rispettivamente ai lati $a,b,c$).

(b) Determina l’altezza relativa al lato $a$.

(c) Determina la mediana relativa al lato $b$.

(d) Determina la bisettrice dell’angolo $\gamma$.

Soluzione

(a) Per il teorema del coseno: $\cos\alpha=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{152}{208}\approx0{,}731\Rightarrow\alpha\approx43{,}05°$; $\cos\beta=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{186}{234}\approx0{,}795\Rightarrow\beta\approx37{,}38°$; $\gamma=180°-\alpha-\beta\approx99{,}59°$ (verifica: $\cos\gamma=-\tfrac16$).

(b) Per la formula di Erone: $s=15$, $\text{Area}=\sqrt{15\cdot6\cdot7\cdot2}=\sqrt{1260}\approx35{,}50$; quindi $h_a=\dfrac{2\,\text{Area}}{a}\approx7{,}89$.

(c) $m_b=\dfrac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\dfrac12\sqrt{436}\approx10{,}44$.

(d) $t_\gamma=\dfrac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}=\dfrac{144\cos49{,}80°}{17}\approx5{,}47$.

$\boxed{\alpha\approx43{,}05°,\ \beta\approx37{,}38°,\ \gamma\approx99{,}59°,\ h_a\approx7{,}89,\ m_b\approx10{,}44,\ t_\gamma\approx5{,}47}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Altezza triangolo · Bisettrice triangolo · Formula di erone · Mediana triangolo · Teorema del coseno
Funzioni: Coseno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico