Disequazioni goniometriche, frazionarie e logaritmica

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

(a) $\left(\sin\dfrac x2-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\left(\cos x-\dfrac12\right)\ge0$

(b) $\dfrac{3\tan x-3}{\cos x-\dfrac12}\ge0$

(c) $\cos x-\sin x\le1$

(d) $\sin^2 x+3\cos^2 x+\sin x\cos x\le1$

(e) $\dfrac{2\log_3 x-2}{1-2^{x}}\le0$

Soluzione

(a) Il prodotto è $\ge0$ dove i due fattori sono concordi. Si studiano i segni di $\sin\dfrac x2\ge\dfrac{\sqrt2}{2}$ (vero per $\dfrac x2\in\left[\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4\right]$, cioè $x\in\left[\dfrac\pi2,\dfrac{3\pi}2\right]$) e di $\cos x\ge\dfrac12$ (vero per $x\in\left[-\dfrac\pi3,\dfrac\pi3\right]$), combinandoli con una tabella dei segni.

(b) La frazione è $\ge0$ dove numeratore e denominatore sono concordi. Numeratore $3\tan x-3\ge0\iff\tan x\ge1$; denominatore $\cos x-\dfrac12>0\iff\cos x>\dfrac12$. Si costruisce la tabella dei segni tenendo conto degli zeri e delle condizioni di esistenza ($x\neq\dfrac\pi2+k\pi$ e $\cos x\neq\dfrac12$).

(c) Con la formula lineare $\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\!\left(x+\dfrac\pi4\right)$, la disequazione diventa $\sqrt2\cos\!\left(x+\dfrac\pi4\right)\le1$, cioè $\cos\!\left(x+\dfrac\pi4\right)\le\dfrac{\sqrt2}{2}$, verificata per $x+\dfrac\pi4\in\left[\dfrac\pi4,\dfrac{7\pi}4\right]$, cioè $x\in\left[0,\dfrac{3\pi}2\right]$ (modulo $2\pi$).

(d) Usando $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ si riscrive $1+2\cos^2 x+\sin x\cos x\le1$, cioè $\cos x\left(2\cos x+\sin x\right)\le0$. Si studia il segno dei due fattori $\cos x$ e $2\cos x+\sin x$ (quest’ultimo si annulla per $\tan x=-2$) con una tabella dei segni.

(e) Dominio $x>0$. Per $x>0$ è $2^x>1$, quindi il denominatore $1-2^x<0$ è sempre negativo; la frazione è $\le0$ quando il numeratore è $\ge0$: $2\log_3 x-2\ge0\iff\log_3 x\ge1\iff x\ge3$.

$\boxed{(c)\ \cos\!\left(x+\tfrac\pi4\right)\le\tfrac{\sqrt2}{2};\quad (d)\ \cos x\,(2\cos x+\sin x)\le0;\quad (e)\ x\ge3}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione fratta · Disequazione goniometrica · Disequazione goniometrica lettura circonferenza · Disequazione logaritmica
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione