Equazione lineare con il metodo dell'angolo aggiunto

Testo

• (a) Esprimi $6\cos\theta+8\sin\theta$ nella forma $R\cos(\theta-\alpha)$, con $R>0$ e $0^\circ<\alpha<90^\circ$.
• (b) Risolvi $6\cos\theta+8\sin\theta=5$ per $0^\circ\le\theta\le 360^\circ$.

Soluzione

(a) $R=\sqrt{6^2+8^2}=10$ e $\tan\alpha=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \alpha\approx 53{,}13^\circ$. Dunque $6\cos\theta+8\sin\theta=10\cos(\theta-53{,}13^\circ)$.

(b) $10\cos(\theta-53{,}13^\circ)=5\Rightarrow \cos(\theta-53{,}13^\circ)=\dfrac12\Rightarrow \theta-53{,}13^\circ=\pm 60^\circ$.

Quindi $\theta=113{,}13^\circ$ oppure $\theta=-6{,}87^\circ\equiv 353{,}13^\circ$.

$\boxed{R=10,\ \alpha\approx 53{,}13^\circ;\quad \theta\approx 113{,}13^\circ,\ 353{,}13^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Equazione lineare
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione