Equazioni goniometriche elementari (II)

Testo

Risolvi le seguenti equazioni, disegnando la circonferenza goniometrica:

• (a) $2+2\sin(\alpha)=1$
• (b) $-1+5\sin(\alpha)=1$
• (c) $1-\cos(\alpha)=-3\cos(\alpha)$
• (d) $\sin(\alpha)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• (e) $\sin(\alpha)=0$
• (f) $\cos(\alpha)=-\dfrac{1}{2}$

Soluzione

Si isola la funzione goniometrica e si leggono gli angoli sulla circonferenza (soluzioni in $[0,2\pi)$, più il periodo).

• (a) $\sin\alpha=-\dfrac12 \Rightarrow \alpha=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi \ \vee\ \alpha=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi$.
• (b) $\sin\alpha=\dfrac25=0{,}4$ (non notevole) $\Rightarrow \alpha=\arcsin(0{,}4)\approx0{,}4115+2k\pi \ \vee\ \alpha\approx\pi-0{,}4115=2{,}7301+2k\pi$.
• (c) $1=-2\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha=-\dfrac12 \Rightarrow \alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \vee\ \alpha=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi$.
• (d) $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \alpha=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi \ \vee\ \alpha=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi$.
• (e) $\sin\alpha=0 \Rightarrow \alpha=k\pi$ (cioè $0,\ \pi,\ 2\pi,\dots$).
• (f) $\cos\alpha=-\dfrac12 \Rightarrow \alpha=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \vee\ \alpha=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi$.

$\boxed{\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6};\ \approx0{,}41,\,2{,}73;\ \tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3};\ \tfrac{4\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3};\ k\pi;\ \tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Angoli notevoli · Circonferenza goniometrica · Equazione elementare
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione