Equazione lineare in seno e coseno via duplicazione

Testo

Data l’equazione $\;\sin^{2}x+2\sin x\cos x-\cos^{2}x-2=0$, riscrivila in forma lineare in seno e coseno nella variabile $t=2x$ e risolvila.

Soluzione

Usiamo $2\sin x\cos x=\sin 2x$ e $\sin^{2}x-\cos^{2}x=-\cos 2x$. L’equazione diventa $-\cos 2x+\sin 2x-2=0\ \Longrightarrow\ \sin t-\cos t=2\quad(t=2x).$ Scrivendo $\sin t-\cos t=\sqrt2\,\sin\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right)$, si avrebbe $\sqrt2\,\sin\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right)=2$, cioè $\sin\!\left(t-\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2>1$: impossibile. L’equazione non ha soluzioni. $\boxed{\,\nexists\,x\in\mathbb{R}\,}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Equazione lineare seno coseno · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione