Equazione con prostaferesi

Testo

Risolvi l’equazione usando le formule di prostaferesi: $\sin x + \sin(3x) = 0$

Soluzione

Applichiamo la formula di prostaferesi $\ \sin p + \sin q = 2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\$ con $p = 3x$ e $q = x$: $\sin(3x) + \sin x = 2\sin(2x)\cos x = 0.$ Il prodotto si annulla quando si annulla uno dei due fattori:

• $\sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = k\dfrac{\pi}{2}$;
• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, valori già inclusi nella famiglia precedente.

Le soluzioni sono quindi $\boxed{\,x = k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione elementare · Prostaferesi
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione