Espressione con formule parametriche

Testo

Usando le formule parametriche, esprimere in funzione di $t=\tan(\alpha/2)$ l’espressione $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}$ e semplificarla.

Soluzione

Sostituiamo $\sin\alpha = \dfrac{2t}{1+t^2}$ e $\cos\alpha = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$. Al numeratore: $1+\sin\alpha = \frac{1+t^2+2t}{1+t^2} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2}.$ Dividendo per il coseno: $\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{(1+t)^2}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{1-t^2} = \frac{(1+t)^2}{1-t^2} = \frac{(1+t)^2}{(1-t)(1+t)} = \boxed{\dfrac{1+t}{1-t}}.$

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule parametriche · Tangente dell angolo meta
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Semplificare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni