Identità con secante e tangente

Testo

Dimostra che, dove le funzioni sono definite, vale $\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$.

Soluzione

Per definizione $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ e $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. Allora $\sec^{2}x-\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}-\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.$ Per la relazione fondamentale $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ si ha $1-\sin^{2}x=\cos^{2}x$, quindi $\frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=1.$ $\boxed{\;\sec^{2}x-\tan^{2}x=1\;}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Relazione fondamentale
Funzioni: Coseno · Tangente
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione