Equazione esponenziale con sostituzione

Testo

Risolvi l’equazione: $2^{x+1} + 2^{-x+1} = 5$

Soluzione

Riconoscere la strategia. Compaiono $2^x$ e $2^{-x} = 1/2^x$: la potenza $2^x$ ricorre, quindi conviene la sostituzione $t = 2^x$ (con il vincolo $t>0$), che riduce l’equazione a una di secondo grado. Riscriviamo usando $2^{x+1} = 2\cdot 2^x$ e $2^{-x+1} = 2\cdot 2^{-x}$: $2\cdot 2^x + 2\cdot 2^{-x} = 5$ Poniamo $t = 2^x$, con $t>0$: $2t + \frac{2}{t} = 5 \;\Longrightarrow\; 2t^2 - 5t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2 \ \text{oppure}\ t = \tfrac{1}{2}$ Entrambi i valori rispettano il vincolo $t>0$. Tornando a $x$: $2^x = 2 \Rightarrow x = 1; \qquad 2^x = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = -1$ $\boxed{x = 1 \quad\text{oppure}\quad x = -1}$

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Equazione di secondo grado · Equazione esponenziale · Sostituzione
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione