Dimostrazione della proprietà del prodotto

La proprietà del prodotto si dimostra tornando alla definizione di logaritmo come esponente.

Dimostrazione — Proprietà del prodotto

Siano $u = \log_a x$ e $v = \log_a y$. Allora $a^u = x$ e $a^v = y$. Dunque $xy = a^u\cdot a^v = a^{u+v},$ e per definizione di logaritmo $\log_a(xy) = u+v = \log_a x + \log_a y$. $\blacksquare$

Le proprietà del quoziente e della potenza si dimostrano in modo del tutto analogo, usando rispettivamente $a^{u-v}$ e $(a^u)^k = a^{ku}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Proprieta dei logaritmi
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Dimostrare