Grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche

Testo

Rappresenta il grafico delle seguenti funzioni:

(a) $y=3-2^{x}$;

(b) $y=3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-2$;

(c) $y=2-\log_2(2-x)$.

Soluzione

(a) Da $y=2^x$ (asintoto $y=0$, per $(0,1)$): riflessione sull’asse $x$ e traslazione $+3$. Asintoto orizzontale $y=3$ (da sotto), $y(0)=2$, decrescente, interseca l’asse $x$ dove $2^x=3$, cioè $x=\log_2 3\approx1{,}58$.

(b) Da $\left(\tfrac12\right)^x$ (decrescente, asintoto $y=0$): dilatazione verticale $\times3$ e traslazione $-2$. Asintoto $y=-2$, $y(0)=1$, decrescente, zero dove $\left(\tfrac12\right)^x=\tfrac23$, cioè $x=\log_2\tfrac32\approx0{,}585$.

(c) Dominio $2-x>0\Rightarrow x<2$; asintoto verticale $x=2$. Per $x\to2^-$, $\log_2(2-x)\to-\infty$ quindi $y\to+\infty$; per $x\to-\infty$, $y\to-\infty$. $y(0)=2-1=1$, $y(1)=2$. Funzione crescente.

$\boxed{\text{asintoti: } y=3;\quad y=-2;\quad x=2}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Asintoto · Trasformazioni di grafici
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Analizzare funzioni · Rappresentare grafici
Tipo di esercizio: Grafico di funzione