Proprietà della funzione esponenziale

Raccogliamo in un unico elenco tutte le proprietà della funzione esponenziale: sono le stesse per ogni base ammissibile, con l’unica differenza tra crescita ($a>1$) e decrescita ($0<a<1$).

Proprietà — La funzione esponenziale

Per ogni base ammissibile $a>0,\ a\ne 1$:

• Dominio: $\mathbb{R}$.
• Immagine: $(0;+\infty)$, cioè la funzione è sempre strettamente positiva.
• Intersezioni: $\exp_a(0) = a^0 = 1$, quindi il grafico passa per $(0;1)$. Non c’è nessuna intersezione con l’asse $x$ (è un errore ricorrente degli studenti).
• Monotonia: strettamente crescente se $a > 1$, strettamente decrescente se $0 < a < 1$.
• Iniettività: la stretta monotonia implica l’iniettività; poiché l’immagine $(0;+\infty)$ coincide con il codominio, la funzione è biunivoca da $\mathbb{R}$ in $(0;+\infty)$ e dunque ammette inversa (il logaritmo, del prossimo capitolo).
• Asintoti: l’asse $x$ ($y=0$) è asintoto orizzontale. Se $a>1$ lo è verso $-\infty$; se $0<a<1$ lo è verso $+\infty$.

La proprietà più usata negli esercizi è l’iniettività: da $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ si può dedurre $f(x)=g(x)$, cioè “togliere la base”. È proprio la biunivocità a garantire, inoltre, l’esistenza della funzione inversa, il logaritmo.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Asintoto · Biunivocita · Dominio · Funzione inversa · Immagine · Iniettivita · Monotonia
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Studiare funzione