Funzione omografica ruotata di 45 gradi

Testo

Considera la funzione $y=\dfrac{\sqrt2\,x+4}{x-\sqrt2}$:

• (a) scrivi la funzione ruotata di $45^\circ$ in senso orario rispetto all’origine e determina i semiassi della conica ruotata (sono anche quelli della conica originaria?);
• (b) determina vertici e fuochi della conica ruotata e deduci le loro posizioni per la conica originaria.

Soluzione

La funzione è un’iperbole omografica: $y(x-\sqrt2)=\sqrt2 x+4\Rightarrow (x-\sqrt2)(y-\sqrt2)=6$, centro $C(\sqrt2;\sqrt2)$, $k=6>0$.

(a) È un’iperbole equilatera: ruotando di $45^\circ$ si porta in forma canonica $X^2-Y^2=2k=12$, cioè $\dfrac{X^2}{12}-\dfrac{Y^2}{12}=1$. I semiassi sono $a=b=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Sono anche i semiassi della conica originaria (la rotazione conserva le dimensioni).

(b) Nella conica ruotata (centro nell’origine): vertici $(\pm2\sqrt3;0)$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt6$, fuochi $(\pm2\sqrt6;0)$. Per l’originaria, riportando attorno a $C(\sqrt2;\sqrt2)$ lungo la bisettrice: vertici $(\sqrt2\pm\sqrt6;\sqrt2\pm\sqrt6)$, fuochi $(\sqrt2\pm2\sqrt3;\sqrt2\pm2\sqrt3)$.

$\boxed{a=b=2\sqrt3,\qquad k=6}$

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Funzione omografica · Fuochi · Rotazione · Semiassi
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico