Prezzo di massimo guadagno per i pacchi di biscotti

Testo

L’azienda CarpiFoods vende pacchi di biscotti. A un prezzo di $8$ € al pacco venderebbe $200$ pacchi a settimana; a un prezzo di $5$ € ne venderebbe $600$. Il costo di produzione di un pacco è $3$ €.

• (a) determina come il numero di pacchi venduti dipende dal prezzo (dipendenza lineare);
• (b) scrivi la formula del guadagno settimanale come funzione del prezzo;
• (c) trova il prezzo che massimizza il guadagno e il valore del guadagno massimo.

Soluzione

(a) La domanda $q(p)$ è una retta per $(8;200)$ e $(5;600)$: $m=\frac{600-200}{5-8}=-\frac{400}{3}, \qquad q(p)=-\frac{400}{3}p+\frac{3800}{3}=-\frac{400}{3}\,(p-9{,}5).$ (b) Il guadagno è (margine unitario) $\times$ (quantità): $G(p)=(p-3)\,q(p)=-\frac{400}{3}\,(p-3)(p-9{,}5).$ È una parabola con concavità verso il basso, che si annulla in $p=3$ e $p=9{,}5$. (c) Il massimo sta nel vertice, a metà tra gli zeri: $p^*=\frac{3+9{,}5}{2}=6{,}25\ \text{€}.$ A quel prezzo $q(6{,}25)=\dfrac{1300}{3}\approx433$ pacchi, e $G(6{,}25)=(6{,}25-3)\cdot\frac{1300}{3}=\frac{4225}{3}\approx1408{,}33\ \text{€/settimana}.$ $\boxed{\ p^*=6{,}25\ \text{€}, \qquad G_{\max}\approx1408{,}33\ \text{€/settimana}\ }$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di domanda
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione