Grafici con valore assoluto e termine x per modulo di x

Testo

Disegna il grafico delle seguenti funzioni e trova le loro intersezioni con gli assi $x$ e $y$:

• (a) $y=-|2x-1|+3x-4$
• (b) $y=-\dfrac{x\,|x|}{9}+2x+9$
• (c) $y=|x+2|+|x-2|$

Soluzione

(a) Caposaldo $x=\dfrac12$. $\ x\ge\tfrac12:\ y=-(2x-1)+3x-4=x-3$; $\ x<\tfrac12:\ y=(2x-1)+3x-4=5x-5$. $\cap y:(0;-5)$; $\cap x:\ x-3=0\Rightarrow x=3$ (valido), quindi $(3;0)$ (la soluzione $x=1$ del ramo sinistro va scartata perché non $<\tfrac12$). (b) Uso $x|x|$: $\ x\ge0:\ y=-\dfrac{x^2}{9}+2x+9$ (parabola concava verso il basso); $\ x<0:\ y=\dfrac{x^2}{9}+2x+9$ (parabola concava verso l’alto). $\cap y:(0;9)$; $\cap x:\ x\ge0:\ x^2-18x-81=0\Rightarrow x=9+9\sqrt2\approx21{,}73$; $\ x<0:\ x^2+18x+81=(x+9)^2=0\Rightarrow x=-9$. Punti $(9+9\sqrt2;0)$ e $(-9;0)$. (c) $x\ge2:\ y=2x$; $\ -2\le x<2:\ y=4$ (costante); $\ x<-2:\ y=-2x$. Grafico a ”vasca”: tratto orizzontale a quota $4$ tra $-2$ e $2$, e rami $y=2|x|$ all’esterno. $\cap y:(0;4)$; nessuna intersezione con l’asse $x$ (minimo $4$). $\boxed{\text{Si tolgono i valori assoluti a tratti; intersezioni: (a) }(3;0),(0;-5);\ (b)\ (-9;0),(9+9\sqrt2;0),(0;9);\ (c)\ (0;4).}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti · Intersezione assi · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico