Grafici di funzioni con valori assoluti e intersezioni con gli assi

Testo

Disegna il grafico delle seguenti funzioni e trova le loro intersezioni con gli assi $x$ e $y$:

• (a) $y=|x-2|+x+2$
• (b) $y=\dfrac{x^2}{9}+2|x|+9$
• (c) $|x|+|y|=0$
• (d) $y=|x+2|-3$
• (e) $y=|2x+1|+3|x-2|+x-10$
• (f) $y=x^2-7|x+2|-5$

Soluzione

(a) $x\ge2:\ y=2x$; $\ x<2:\ y=4$. Semiretta orizzontale a quota $4$ fino a $(2;4)$, poi retta $y=2x$. $\cap y:(0;4)$; nessuna intersezione con l’asse $x$ (sempre $\ge4$). (b) Funzione pari, sempre $\ge9$: $x\ge0:\ \dfrac{x^2}{9}+2x+9$; $x<0:\ \dfrac{x^2}{9}-2x+9$. $\cap y:(0;9)$; nessuna intersezione con l’asse $x$ (minimo $9$). (c) $|x|+|y|=0$ solo se $x=0$ e $y=0$: il ”grafico” è il solo punto $(0;0)$. (d) V con vertice $(-2;-3)$: $\cap y:(0;-1)$; $\cap x:\ |x+2|=3\Rightarrow x=1,\,x=-5$, punti $(1;0)$ e $(-5;0)$. (e) Capisaldi $x=-\tfrac12,\,x=2$. $\ x<-\tfrac12:\ y=-4x-5$; $\ -\tfrac12\le x<2:\ y=-3$ (costante); $\ x\ge2:\ y=6x-15$. $\cap y:(0;-3)$; $\cap x:\ (-\tfrac54;0)$ e $(\tfrac52;0)$. (f) $x\ge-2:\ y=x^2-7x-19$; $x<-2:\ y=x^2+7x+9$. $\cap y:(0;-19)$; $\cap x:\ x=\dfrac{7+5\sqrt5}{2}\approx9{,}09$ (ramo $x\ge-2$) e $x=\dfrac{-7-\sqrt{13}}{2}\approx-5{,}30$ (ramo $x<-2$). $\boxed{\text{Ogni funzione si studia togliendo i valori assoluti a tratti; vedi sopra le intersezioni.}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti · Intersezione assi · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico