Prezzo di massimo profitto

Testo

Per il farmaco di Gelmini & Cremonini, con domanda $D(p)=10\,000\bigl(1-\tfrac{p}{28}\bigr)$ e costo unitario $5$ €, calcolare il prezzo che massimizza il profitto $(p-5)\cdot D(p)$.

Soluzione

Il profitto è $\pi(p) = (p-5)\cdot 10\,000\Bigl(1-\frac{p}{28}\Bigr) = \frac{10\,000}{28}\,(p-5)(28-p).$ È una parabola in $p$ con concavità verso il basso, che si annulla in $p=5$ e $p=28$. Il vertice — punto di massimo — sta a metà tra i due zeri: $p^* = \frac{5+28}{2} = \boxed{16{,}5\ \text{€}}.$ A questo prezzo $D(16{,}5)=10\,000\bigl(1-\tfrac{16{,}5}{28}\bigr)\approx 4\,107$ scatole, e il profitto massimo vale $\pi(16{,}5)=(16{,}5-5)\cdot 4\,107\approx 47\,200$ €/mese. Si noti che $p^*=16{,}5$ è diverso dal prezzo di equilibrio ($\approx 14{,}58$ €): massimizzare il profitto e svuotare il mercato sono obiettivi distinti.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di domanda
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione