Funzione inversa

Se una funzione è biunivoca, ogni valore di arrivo proviene da un unico valore di partenza: possiamo allora “tornare indietro” e definire la funzione inversa. Vediamo la sua definizione, le proprietà di composizione e la simmetria del grafico rispetto alla retta $y=x$, e infine una procedura pratica per calcolarla.

• Definizione di funzione inversa
• Proprietà dell’inversa e simmetria del grafico
• Come calcolare l’inversa

If a function is bijective, every output value comes from a unique input value: we can then “go back” and define the inverse function. We look at its definition, the composition properties and the symmetry of the graph with respect to the line $y=x$, and finally a practical procedure for computing it.

• Definition of the inverse function
• Properties of the inverse and symmetry of the graph
• How to compute the inverse

La biunivocità è esattamente la condizione che permette di “invertire” una funzione.

Definizione — Funzione inversa

Se $f:A\to B$ è biunivoca, allora per ogni $y\in B$ esiste esattamente un $x\in A$ con $f(x)=y$. La funzione inversa $f^{-1}:B\to A$ è quella che a ogni $y\in B$ associa tale $x$: $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.$

Senza la biunivocità l’inversa non esisterebbe come funzione: se $f$ non fosse iniettiva, a uno stesso $y$ corrisponderebbero più $x$ (violando l’unicità); se non fosse suriettiva, per qualche $y$ non esisterebbe alcun $x$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Funzione inversa

Bijectivity is exactly the condition that allows a function to be “inverted”.

Definition — Inverse function

If $f:A\to B$ is bijective, then for every $y\in B$ there exists exactly one $x\in A$ with $f(x)=y$. The inverse function $f^{-1}:B\to A$ is the one that associates with each $y\in B$ that $x$: $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.$

Without bijectivity the inverse would not exist as a function: if $f$ were not injective, several $x$ would correspond to the same $y$ (violating uniqueness); if it were not surjective, for some $y$ no $x$ would exist.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Bijective function · Inverse function

L’inversa “disfa” ciò che la funzione ha fatto, e il suo grafico è la riflessione di quello di $f$.

Proprietà — Composizione con l'inversa

Se $f^{-1}$ esiste, vale $f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x \ \text{per ogni } x\in A, \qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y \ \text{per ogni } y\in B.$ Cioè: applicare $f$ e poi $f^{-1}$ (o viceversa) restituisce sempre l’input iniziale.

Proprietà — Grafico dell'inversa

Il grafico di $f^{-1}$ si ottiene dal grafico di $f$ riflettendolo rispetto alla retta $y=x$: se $(a,b)$ è un punto del grafico di $f$, allora $(b,a)$ è un punto del grafico di $f^{-1}$.

I grafici di $f(x)=\tfrac{x^2}{2}$ e della sua inversa $f^{-1}(x)=\sqrt{2x}$ sono simmetrici rispetto alla retta $y=x$.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione composta · Funzione inversa
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

The inverse “undoes” what the function did, and its graph is the reflection of that of $f$.

Property — Composition with the inverse

If $f^{-1}$ exists, then $f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x \ \text{for every } x\in A, \qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y \ \text{for every } y\in B.$ That is: applying $f$ and then $f^{-1}$ (or vice versa) always returns the initial input.

Property — Graph of the inverse

The graph of $f^{-1}$ is obtained from the graph of $f$ by reflecting it in the line $y=x$: if $(a,b)$ is a point of the graph of $f$, then $(b,a)$ is a point of the graph of $f^{-1}$.

The graphs of $f(x)=\tfrac{x^2}{2}$ and of its inverse $f^{-1}(x)=\sqrt{2x}$ are symmetric with respect to the line $y=x$.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Composite function · Inverse function
Skills: Interpreting a graph · Sketching a graph

Calcolare l’inversa di una funzione biunivoca è una procedura in tre passi: si scrive $y=f(x)$, si isola $x$, e si scambiano i nomi delle variabili.

Esempio — Come calcolare l'inversa

Sia $f(x) = 2x+3$, biunivoca da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$. Per trovare $f^{-1}$:

1. Scrivi $y = 2x+3$.
2. Isola $x$: $x = \tfrac{y-3}{2}$.
3. Scambia i nomi delle variabili (convenzione: la variabile indipendente di una funzione si chiama sempre $x$): $f^{-1}(x) = \tfrac{x-3}{2}$.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione inversa
Funzioni: Retta
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

Computing the inverse of a bijective function is a three-step procedure: write $y=f(x)$, isolate $x$, and swap the names of the variables.

Example — How to compute the inverse

Let $f(x) = 2x+3$, bijective from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$. To find $f^{-1}$:

1. Write $y = 2x+3$.
2. Isolate $x$: $x = \tfrac{y-3}{2}$.
3. Swap the names of the variables (convention: the independent variable of a function is always called $x$): $f^{-1}(x) = \tfrac{x-3}{2}$.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Inverse function
Functions: Straight line
Skills: Solving equations · Using formulae