Fascio di circonferenze dipendente da un parametro

Testo

Considera le circonferenze $x^2+y^2+3x-ay-3-a=0$:

• (a) determina il raggio minimo al variare di $a$;
• (b) stabilisci se i centri stanno su una retta, e quale;
• (c) posto $a=1$, determina centro e raggio.

Soluzione

Il centro è $C\left(-\tfrac32;\tfrac{a}{2}\right)$ e il raggio soddisfa $R^2=\left(\tfrac32\right)^2+\left(\tfrac{a}{2}\right)^2-(-3-a)=\frac{a^2+4a+21}{4}.$ (a) Minimizziamo $a^2+4a+21$: vertice in $a=-2$, valore $17$. Quindi $R_{min}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\approx 2{,}06$.

(b) Il centro ha sempre ascissa $-\tfrac32$: i centri stanno sulla retta $x=-\tfrac32$.

(c) Per $a=1$: $C\left(-\tfrac32;\tfrac12\right)$ e $R^2=\dfrac{1+4+21}{4}=\dfrac{26}{4}$, cioè $R=\dfrac{\sqrt{26}}{2}\approx 2{,}55$.

$\boxed{R_{min}=\tfrac{\sqrt{17}}{2};\quad x=-\tfrac32;\quad C\left(-\tfrac32;\tfrac12\right),\ R=\tfrac{\sqrt{26}}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Centro · Equazione circonferenza · Luogo dei centri · Raggio
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico