Asse di un segmento e circonferenza per tre punti

Testo

Considera i punti $A(2;-1)$ e $B(-3;0)$:

• (a) determina l’equazione dell’asse del segmento $AB$ usando la definizione di luogo;
• (b) determina l’asse come perpendicolare per il punto medio e confronta;
• (c) scrivi l’equazione della circonferenza per $A$, $B$ e l’origine, e il suo raggio.

Soluzione

(a) $d(P,A)=d(P,B)$: $(x-2)^2+(y+1)^2=(x+3)^2+y^2$. Sviluppando: $-4x+2y+5=6x+9\Rightarrow y=5x+2$.

(b) Punto medio $M\left(-\tfrac12;-\tfrac12\right)$; pendenza $AB=\dfrac{0-(-1)}{-3-2}=-\tfrac15$, perpendicolare $5$: $y+\tfrac12=5\left(x+\tfrac12\right)\Rightarrow y=5x+2$. Stesso risultato. ✓

(c) Circonferenza $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ per l’origine dà $F=0$. Per $B(-3;0)$: $9-3D=0\Rightarrow D=3$. Per $A(2;-1)$: $5+2D-E=0\Rightarrow E=11$. Quindi $x^2+y^2+3x+11y=0$, centro $C\left(-\tfrac32;-\tfrac{11}{2}\right)$ e $R=\sqrt{\tfrac94+\tfrac{121}{4}}=\frac{\sqrt{130}}{2}\approx 5{,}70.$

$\boxed{x^2+y^2+3x+11y=0,\qquad C\left(-\tfrac32;-\tfrac{11}{2}\right),\qquad R=\tfrac{\sqrt{130}}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse di segmento · Centro · Equazione circonferenza · Raggio
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico