Corda che interseca un diametro

Testo

In una circonferenza di raggio $4$, una corda $AB$ lunga $7$ interseca nel punto $K$ un diametro $CD$, dividendolo in due parti, una tripla dell’altra. Determina le lunghezze $\overline{AK}$, $\overline{BK}$, $\overline{CK}$, $\overline{DK}$. Qual è la lunghezza minima della corda $AB$ che consente di avere soluzioni possibili a questo problema?

Soluzione

Il diametro vale $CD=2\cdot4=8$. Diviso in due parti con una tripla dell’altra: $x+3x=8\Rightarrow x=2$, quindi $\{CK,DK\}=\{2,6\}$. Per il teorema delle corde (potenza del punto $K$): $AK\cdot BK=CK\cdot DK=2\cdot6=12.$ Con $AK+BK=AB=7$, le due lunghezze sono radici di $t^2-7t+12=0$, cioè $t=3$ e $t=4$. Dunque $AK=4,\quad BK=3,\quad CK=2,\quad DK=6.$ Corda minima. $K$ dista dal centro $\overline{OK}=4-CK=4-2=2$. La corda più corta passante per $K$ è quella perpendicolare a $OK$: $AB_{\min}=2\sqrt{r^2-\overline{OK}^2}=2\sqrt{16-4}=2\sqrt{12}=4\sqrt3\approx6{,}93.$ (coerente: con $AK=BK=2\sqrt3$ si ha ancora $AK\cdot BK=12$). $\boxed{AK=4,\ BK=3,\ CK=2,\ DK=6;\qquad AB_{\min}=4\sqrt3\approx6{,}93.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Corda · Diametro · Potenza di un punto
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico