Triangolo isoscele da raggi inscritto e circoscritto

Testo

Un triangolo isoscele ha raggio del cerchio inscritto pari a $\dfrac32$ e raggio del cerchio circoscritto pari a $\dfrac{25}{8}$. Inoltre la base è lunga $6$. Determina la misura del lato obliquo e dell’area del triangolo, e disegnalo.

Soluzione

Sia $b=6$ la base, $L$ il lato obliquo, $h$ l’altezza (che cade nel punto medio della base). Metà base $=3$, quindi $L=\sqrt{h^2+9}$ e l’area è $\mathcal A=\dfrac12\cdot6\cdot h=3h$. Circoscritto: $R=\dfrac{L\cdot L\cdot b}{4\mathcal A}=\dfrac{L^2}{2h}=\dfrac{25}{8}$. Inscritto: $r=\dfrac{\mathcal A}{p}=\dfrac{3h}{3+L}=\dfrac32\ \Longrightarrow\ 2h=3+L\ \Longrightarrow\ L=2h-3$. Sostituisco in $L^2=h^2+9$: $(2h-3)^2=h^2+9\ \Longrightarrow\ 4h^2-12h+9=h^2+9\ \Longrightarrow\ 3h^2-12h=0\ \Longrightarrow\ h=4.$ Allora $L=2\cdot4-3=5$ (verifica: $L^2=25=16+9$ ✓, e $R=\dfrac{25}{2\cdot4}=\dfrac{25}{8}$ ✓). L’area è $\mathcal A=3\cdot4=12$. $\boxed{L=5,\qquad \mathcal A=12.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Cerchio circoscritto · Cerchio inscritto · Raggio · Triangolo isoscele
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico