Teoria della circonferenza, corde, quadrilateri e circocentro

Testo

• (a) Enuncia il teorema sulle due corde di una circonferenza che si intersecano e sulle parti in cui restano divise. Fai un disegno accurato con ipotesi e tesi e indica come dimostrarlo.
• (b) Due corde $AB$ e $CD$ si intersecano in $K$. Congiungi $A$ con $C$ e $B$ con $D$: dimostra che $\widehat{C\!AB}\cong\widehat{B\!DC}$; poi traccia le bisettrici di tali angoli e dimostra che si incontrano sulla circonferenza (suggerimento: per assurdo).
• (c) Enuncia la condizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscrittibile e quella perché sia circoscrittibile, con esempi.
• (d) Dimostra che in un triangolo rettangolo il circocentro è il punto medio dell’ipotenusa.
• (e) Dimostra che se due corde si intersecano perpendicolarmente dividendosi a metà, allora sono le diagonali di un quadrato inscritto.
• (f) Disegna un quadrilatero sia inscrittibile sia circoscrittibile, ma non un quadrato.

Soluzione

(a) Teorema delle corde. Se due corde $AB$ e $CD$ si intersecano in un punto interno $K$, allora $\overline{AK}\cdot\overline{KB}=\overline{CK}\cdot\overline{KD}$. Ipotesi: $AB,CD$ corde, $K=AB\cap CD$ interno. Tesi: $AK\cdot KB=CK\cdot KD$. Dimostrazione: i triangoli $AKC$ e $DKB$ sono simili perché hanno gli angoli in $K$ opposti al vertice e gli angoli $\widehat{CAK}\cong\widehat{BDK}$ (angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco $BC$); dalla proporzione $\dfrac{AK}{DK}=\dfrac{CK}{BK}$ segue la tesi.

(b) $\widehat{CAB}$ e $\widehat{BDC}$ sono angoli alla circonferenza che insistono entrambi sull’arco $BC$ (dalla stessa parte), quindi sono congruenti. Le loro bisettrici tagliano l’arco $BC$ ciascuna nel suo punto medio; poiché gli angoli sono uguali e insistono sullo stesso arco, le due bisettrici passano per lo stesso punto medio $M$ dell’arco $BC$: si incontrano dunque su un punto della circonferenza. (Per assurdo, se si incontrassero in un punto interno diverso, i due angoli alla circonferenza non sottenderebbero lo stesso arco, contraddizione.)

(c) Un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza $\iff$ gli angoli opposti sono supplementari ($\hat A+\hat C=\hat B+\hat D=180^\circ$). È circoscrittibile $\iff$ le somme dei lati opposti sono uguali ($AB+CD=BC+DA$, teorema di Pitot). Esempi: un rettangolo è inscrittibile (angoli retti opposti supplementari); un rombo è circoscrittibile (lati tutti uguali, somme opposte uguali).

(d) Sia $ABC$ rettangolo in $C$. Il circocentro è equidistante dai vertici; l’ipotenusa $AB$ sottende l’angolo retto in $C$, quindi $AB$ è un diametro del cerchio circoscritto (teorema dell’angolo alla circonferenza: un angolo di $90^\circ$ insiste su una semicirconferenza). Il centro del diametro $AB$ è il suo punto medio $M$, ed è equidistante da $A,B,C$: $M$ è il circocentro. $\;\blacksquare$

(e) Siano $AB$ e $CD$ due corde che si intersecano in $K$, perpendicolari e che si bisecano ($AK=KB$, $CK=KD$). Poiché ciascuna corda è bisecata da $K$, la retta per il centro $O$ e $K$ è perpendicolare a ciascuna corda: dunque $O=K$, cioè entrambe passano per il centro e sono diametri, quindi congruenti ($AB=CD=$ diametro). Diagonali perpendicolari, congruenti e che si bisecano $\Rightarrow$ il quadrilatero $ACBD$ è un quadrato inscritto. $\;\blacksquare$

(f) Un deltoide (aquilone) con due coppie di lati consecutivi congruenti e un asse di simmetria: se ha somme dei lati opposti uguali è circoscrittibile, e se ha una coppia di angoli opposti retti è inscrittibile. Un esempio è un deltoide retto (con due angoli opposti di $90^\circ$) non equilatero: è sia inscrittibile sia circoscrittibile, ma non è un quadrato. $\boxed{AK\cdot KB=CK\cdot KD;\quad \text{inscrittibile}\!:\hat A+\hat C=180^\circ;\quad \text{circoscrittibile}\!:AB+CD=BC+DA.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo alla circonferenza · Circocentro · Corda · Quadrilatero circoscritto · Quadrilatero inscritto
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema