Quadrato con diagonali note

Testo

$ABCD$ è un quadrato con $AB=BC=CD=DA=\ell$, $AP=2$ e diagonali congruenti $CA\cong BD$. Se $PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=20$ e $\widehat{CAP}\cong\pi$, trova $\ell$.

Il quadrato $ABCD$ con il punto $P$ esterno collegato ai quattro vertici.

Soluzione

Posto $CA=\sqrt{2}\,x$ (diagonale del quadrato di lato $x$), le condizioni si traducono nel sistema $\begin{cases} 4+2y^2+(2+x\sqrt{2})^2 = 20 \\ y^2 = \dfrac{x^2}{2}+4+4\sqrt{\dfrac{x^2}{2}}+\dfrac{x^2}{2} \end{cases}$ Ricavando $y^2$ dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima si ottiene un’equazione nella sola incognita $x$, da cui il lato $\ell$ del quadrato.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Quadrilatero inscritto
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico