Problema — Corde congruenti e il diametro

Testo

Due corde congruenti $AB$ e $CD$ di una circonferenza di centro $O$ si intersecano in un punto $P$. Si consideri il diametro passante per $P$, cioè la retta $OP$. Dimostrare che le due corde formano angoli congruenti con tale diametro.

Soluzione

Siano $H$ e $K$ i piedi delle perpendicolari condotte dal centro $O$ rispettivamente alle corde $AB$ e $CD$. Corde congruenti sono equidistanti dal centro, quindi $\overline{OH} = \overline{OK}$. Consideriamo i triangoli $OHP$ e $OKP$: sono rettangoli in $H$ e in $K$, hanno l’ipotenusa $OP$ in comune e i cateti $\overline{OH} = \overline{OK}$. Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli sono congruenti. Di conseguenza $\widehat{OPH} = \widehat{OPK}$: questi sono proprio gli angoli formati dalla retta $OP$ (il diametro) con le due corde $AB$ e $CD$. Le corde formano dunque angoli congruenti con il diametro. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Corda · Diametro
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione