Problema — Trapezio isoscele da corde parallele

Testo

In una circonferenza si tracciano due corde parallele $PQ$ e $RS$. Dimostrare che i loro quattro estremi sono i vertici di un trapezio isoscele (oppure di un rettangolo, nel caso particolare in cui le due corde siano congruenti).

Soluzione

Ordiniamo i vertici in modo che il quadrilatero sia $PQSR$, con i lati $PQ$ e $RS$ paralleli per ipotesi: esso è dunque un trapezio, di lati obliqui $PR$ e $QS$. Poiché le corde $PQ$ e $RS$ sono parallele, gli archi $PR$ e $QS$ compresi fra di esse sono congruenti (archi compresi fra corde parallele). Ad archi congruenti corrispondono corde congruenti, quindi $\overline{PR} = \overline{QS}$: i lati obliqui sono congruenti e il trapezio è isoscele. Se in particolare $\overline{PQ} = \overline{RS}$, il trapezio ha le basi congruenti ed è dunque un parallelogramma; ma un parallelogramma inscritto in una circonferenza è un rettangolo. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Arco · Corda · Trapezio isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione