Problema — Angolo al centro triplo

Testo

In una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$ si consideri una corda $MN$. Si prolunga la corda oltre $N$ di un segmento $NP$ congruente al raggio. Si congiunge poi $P$ con il centro $O$ e si traccia la retta $PO$; sia $Q$ il punto in cui essa incontra la circonferenza dalla parte opposta a $P$ rispetto al centro. Dimostrare che l’angolo al centro $\widehat{QOM}$ è triplo dell’angolo $\widehat{OPN}$.

Soluzione

Poniamo $\widehat{OPN} = \alpha$. Il triangolo $ONP$ è isoscele, perché $\overline{ON} = \overline{NP} = r$; quindi gli angoli alla base sono congruenti: $\widehat{NOP} = \widehat{NPO} = \alpha$. Il terzo angolo vale allora $\widehat{ONP} = 180^\circ - 2\alpha$. Poiché $M$, $N$, $P$ sono allineati, l’angolo adiacente è $\widehat{ONM} = 180^\circ - \widehat{ONP} = 2\alpha$. Anche il triangolo $OMN$ è isoscele, essendo $\overline{OM} = \overline{ON} = r$; dunque $\widehat{OMN} = \widehat{ONM} = 2\alpha$. Ora $\widehat{QOM}$ è angolo esterno del triangolo $OMP$ nel vertice $O$ (i punti $P$, $O$, $Q$ sono allineati), perciò è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti: $\widehat{QOM} = \widehat{OPM} + \widehat{OMP} = \alpha + 2\alpha = 3\alpha.$ Quindi $\widehat{QOM} = 3\,\widehat{OPN}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Corda · Raggio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione