Problema — Segmenti di tangenza da un punto esterno

Testo

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ si conducono le due tangenti, che toccano la circonferenza nei punti $A$ e $B$. Dimostrare che i due segmenti di tangenza $PA$ e $PB$ sono congruenti.

Soluzione

I raggi $OA$ e $OB$ sono perpendicolari alle rispettive tangenti, quindi i triangoli $OAP$ e $OBP$ sono rettangoli rispettivamente in $A$ e in $B$. Essi hanno l’ipotenusa $OP$ in comune e i cateti $\overline{OA} = \overline{OB} = r$ (raggi). Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli (ipotenusa e un cateto congruenti) i due triangoli sono congruenti. Di conseguenza $\overline{PA} = \overline{PB}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Raggio · Tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione