Problema — Corda minima per un punto interno

Testo

Sia $P$ un punto interno a una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$. Dimostrare che, fra tutte le corde passanti per $P$, la più corta è quella perpendicolare al diametro che passa per $P$. Calcolare poi la lunghezza di tale corda minima nel caso $r = 10$ e $\overline{OP} = 6$.

Soluzione

Una generica corda passante per $P$ dista dal centro una lunghezza $h = \overline{OM}$, dove $M$ è il piede della perpendicolare condotta da $O$ alla corda. Nel triangolo rettangolo $OMP$ (retto in $M$) l’ipotenusa è $\overline{OP}$, quindi $h = \overline{OM} \le \overline{OP}$, con uguaglianza solo quando $M \equiv P$, cioè quando la corda è perpendicolare a $OP$. La lunghezza di una corda a distanza $h$ dal centro è $2\sqrt{r^2 - h^2}$, funzione decrescente di $h$. La corda più corta corrisponde dunque al massimo valore di $h$, cioè $h = \overline{OP}$: è la corda perpendicolare al diametro passante per $P$. Con $r = 10$ e $\overline{OP} = 6$: $L_{\min} = 2\sqrt{r^2 - \overline{OP}^{\,2}} = 2\sqrt{100 - 36} = 2\sqrt{64} = 16.$ $\boxed{L_{\min} = 16}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Corda · Diametro
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico