Problema — Secante a due circonferenze concentriche

Testo

Due circonferenze concentriche hanno centro $O$. Una retta interseca la circonferenza maggiore nei punti $A$ e $D$ e quella minore nei punti $B$ e $C$, disposti nell’ordine $A$, $B$, $C$, $D$ lungo la retta. Dimostrare che i segmenti $AB$ e $CD$, compresi fra le due circonferenze, sono congruenti.

Soluzione

Sia $H$ il piede della perpendicolare condotta da $O$ alla retta secante. La perpendicolare dal centro a una corda ne è l’asse: dunque $H$ è il punto medio della corda $AD$ della circonferenza maggiore e, contemporaneamente, il punto medio della corda $BC$ della circonferenza minore. Quindi $\overline{AH} = \overline{HD}$ e $\overline{BH} = \overline{HC}$. Poiché $B$ e $C$ sono interni al segmento $AD$, $\overline{AB} = \overline{AH} - \overline{BH}, \qquad \overline{CD} = \overline{HD} - \overline{HC} = \overline{AH} - \overline{BH}.$ Perciò $\overline{AB} = \overline{CD}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Circonferenza · Corda
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione