Problema — Corde parallele dagli estremi di un diametro

Testo

Sia $MN$ un diametro di una circonferenza di centro $O$. Da $M$ si conduce una corda $MP$ e da $N$ una corda $NQ$ tale che $MP \parallel NQ$. Dimostrare che le due corde sono congruenti.

(figura originale: il diametro $MN$ con le due corde parallele uscenti dai suoi estremi opposti)

Soluzione

Indichiamo con $H$ e $K$ i piedi delle perpendicolari condotte dal centro $O$ rispettivamente alle corde $MP$ e $NQ$. Poiché $MP \parallel NQ$ e la retta $MN$ è una loro trasversale, gli angoli $\widehat{PMN}$ e $\widehat{QNM}$ sono alterni interni, dunque congruenti. Consideriamo i triangoli rettangoli $OHM$ e $OKN$: hanno i cateti-ipotenusa $\overline{OM} = \overline{ON} = r$ (raggi), gli angoli acuti $\widehat{HMO} = \widehat{KNO}$ e gli angoli retti in $H$ e $K$. Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli sono congruenti, quindi $\overline{OH} = \overline{OK}$. Corde equidistanti dal centro sono congruenti; perciò $\overline{MP} = \overline{NQ}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Corda · Diametro
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione