Triangolo con lati tangenti a una circonferenza

Testo

Tre rette sono tangenti a una circonferenza, rispettivamente nei punti $A$, $B$ e $C$, e formano il triangolo $P\hat{Q}R$. È noto che $PC=2QC$, che il perimetro del triangolo $PQR$ è $24$ cm e che $PQ+2QR+3PR=50$ cm. Determina le lunghezze dei lati del triangolo $PQR$. (figura nel compito originale: $R$ vertice con le due tangenti $RA$ e $RB$; da $Q$ (su $RA$) la tangente $QC$; $P$ intersezione di $QC$ con $RB$.)

Soluzione

Uso i segmenti di tangenza (da uno stesso punto esterno le due tangenti hanno la stessa lunghezza). Pongo: $RA=RB=r,\qquad QA=QC=q,\qquad PB=PC=p.$ Dalla condizione $PC=2QC$ segue $p=2q$. Esprimo i lati: $PQ=PC+CQ=p+q=3q,\qquad QR=RA-QA=r-q,\qquad RP=RB-PB=r-p=r-2q.$ Perimetro: $PQ+QR+RP=3q+(r-q)+(r-2q)=2r=24\ \Rightarrow\ r=12$. Seconda condizione: $PQ+2QR+3RP=3q+2(r-q)+3(r-2q)=5r-5q=50\ \Rightarrow\ 60-5q=50\ \Rightarrow\ q=2$ (dunque $p=4$). Quindi $PQ=3q=6,\qquad QR=r-q=10,\qquad RP=r-2q=8.$ Verifica: perimetro $6+10+8=24$ ✓; $\;6+2\cdot10+3\cdot8=50$ ✓; $\;PC=4=2\cdot2=2\,QC$ ✓. $\boxed{PQ=6,\quad RP=8,\quad QR=10.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Perimetro · Segmenti di tangenza · Tangente
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico