Tangente e secante da un punto esterno

Testo

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ e raggio $2$ mandi una tangente, che tocca la circonferenza in $A$. Da $P$ mandi anche una secante che interseca la circonferenza prima in $B$, poi in $C$, in modo che il diametro $AD$ sia intersecato da $PC$ in un punto $E$ che è il punto medio del raggio $OD$. Sai che $\overline{AP}=4$. Determina le lunghezze di $PB$, $BE$, $EC$. (figura nel compito originale: tangente $PA$ perpendicolare al diametro $AD$; la secante $PBC$ passa per $E$, punto medio di $OD$.)

Soluzione

Metto le coordinate con $O(0;0)$, $A(0;2)$ (punto di tangenza in alto), $D(0;-2)$ (estremo opposto del diametro). La tangente in $A$ è orizzontale e $\overline{AP}=4$, dunque $P(4;2)$. $E$ è il punto medio di $OD$: $E(0;-1)$. La secante è la retta $PE$: da $P(4;2)$ verso $E(0;-1)$, direzione $(-4;-3)$ di modulo $5$; parametrizzo $(x;y)=(4-4t;\,2-3t)$. Intersezione con la circonferenza $x^2+y^2=4$: $(4-4t)^2+(2-3t)^2=4\ \Longrightarrow\ 25t^2-44t+16=0\ \Longrightarrow\ t=\frac{22\pm2\sqrt{21}}{25}.$ Le distanze da $P$ valgono $5t$ (perché il vettore direttore ha modulo $5$); $B$ è la prima intersezione ($t$ minore), $C$ la seconda: $PB=5t_1=\frac{22-2\sqrt{21}}{5}\approx2{,}57,\qquad PC=5t_2=\frac{22+2\sqrt{21}}{5}\approx6{,}23.$ Verifica con la potenza di $P$: $PB\cdot PC=\overline{AP}^2=16$ ✓. Poiché $E$ corrisponde a $t=1$, $\;PE=5$, quindi $BE=PE-PB=\frac{3+2\sqrt{21}}{5}\approx2{,}43,\qquad EC=PC-PE=\frac{2\sqrt{21}-3}{5}\approx1{,}23.$ $\boxed{PB=\tfrac{22-2\sqrt{21}}{5}\approx2{,}57,\quad BE=\tfrac{3+2\sqrt{21}}{5}\approx2{,}43,\quad EC=\tfrac{2\sqrt{21}-3}{5}\approx1{,}23.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Potenza di un punto · Secante · Tangente
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico