Enunciati di Euclide, Talete, similitudine e bisettrice

Testo

Enuncia, corredando con disegno, ipotesi e tesi dove opportuno:

• (a) il primo teorema di Euclide, in forma di equivalenza e di similitudine, e il suo inverso;
• (b) il secondo teorema di Euclide, in forma di equivalenza e di similitudine;
• (c) i tre criteri di similitudine dei triangoli;
• (d) il teorema piccolo e il teorema grande di Talete, e l’inverso del teorema grande;
• (e) il teorema della bisettrice (”di Spinardi”).

Soluzione

Sia $ABC$ rettangolo in $C$, $CH$ altezza sull’ipotenusa $AB$, con proiezioni $AH,BH$ dei cateti. (a) Primo teorema di Euclide. Equivalenza: il quadrato su un cateto è equivalente al rettangolo di lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto: $\overline{AC}^2=\overline{AB}\cdot\overline{AH}$. Similitudine: ogni cateto è medio proporzionale tra ipotenusa e propria proiezione, $\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{AC}:\overline{AH}$. Inverso: se in un triangolo un lato è medio proporzionale tra un secondo lato e la proiezione del primo sul secondo, allora il triangolo è rettangolo. (b) Secondo teorema di Euclide. Equivalenza: il quadrato sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle due proiezioni: $\overline{CH}^2=\overline{AH}\cdot\overline{BH}$. Similitudine: l’altezza è media proporzionale tra le due proiezioni, $\overline{AH}:\overline{CH}=\overline{CH}:\overline{BH}$. (c) Criteri di similitudine. Due triangoli sono simili se: (1) hanno due angoli ordinatamente congruenti; (2) hanno un angolo congruente compreso tra lati in proporzione; (3) hanno i tre lati ordinatamente in proporzione. (d) Talete. Teorema piccolo: una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali. Teorema grande: un fascio di rette parallele determina su due trasversali segmenti proporzionali. Inverso del grande: se un fascio di rette determina su due trasversali segmenti proporzionali (in corrispondenza ordinata), allora le rette sono parallele. (e) Teorema della bisettrice. La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$. $\boxed{\overline{AC}^2=\overline{AB}\cdot\overline{AH};\quad \overline{CH}^2=\overline{AH}\cdot\overline{BH};\quad \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Similitudine · Teorema della bisettrice · Teorema di talete · Teoremi di euclide
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Enunciato teorema