Equazione irrazionale con quadrato

Testo

Risolvi l’equazione irrazionale $\sqrt{x + 4} + x = 8$.

Soluzione

Isoliamo la radice: $\sqrt{x + 4} = 8 - x$.

Condizioni. Serve $x + 4 \ge 0$ (cioè $x \ge -4$) e, poiché la radice è non negativa, $8 - x \ge 0$ (cioè $x \le 8$).

Eleviamo al quadrato: $x + 4 = (8 - x)^2 = 64 - 16x + x^2 \implies x^2 - 17x + 60 = 0.$ Scomponendo: $(x - 5)(x - 12) = 0$, da cui $x = 5$ oppure $x = 12$.

Controllo. $x = 12$ non rispetta $x \le 8$: sostituendo, $\sqrt{16} + 12 = 16 \neq 8$, quindi è estranea. Invece $x = 5$: $\sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8$. Corretto. $\boxed{x = 5}$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione irrazionale
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione