Due equazioni irrazionali

Testo

Risolvi le seguenti equazioni:

• (a) $x-\sqrt{3-x}=-9$
• (b) $\sqrt{25x-x^{2}}-x=3$

Soluzione

(a) Isoliamo la radice: $\sqrt{3-x}=x+9$. Condizioni: $3-x\ge0$ ($x\le3$) e $x+9\ge0$ ($x\ge-9$). Elevando al quadrato: $3-x=x^2+18x+81\Rightarrow x^2+19x+78=0\Rightarrow x=\dfrac{-19\pm7}{2}$, cioè $x=-6$ o $x=-13$. Solo $x=-6$ rispetta $x\ge-9$; verifica: $\sqrt{9}=3=x+9$. ✓

(b) $\sqrt{25x-x^2}=x+3$. Condizioni: $25x-x^2\ge0$ ($0\le x\le25$) e $x+3\ge0$. Quadrando: $25x-x^2=x^2+6x+9\Rightarrow 2x^2-19x+9=0\Rightarrow x=\dfrac{19\pm17}{4}$, cioè $x=9$ o $x=\tfrac12$. Entrambe accettabili (verifiche: $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{12{,}25}=3{,}5$). ✓

$\boxed{\text{(a) } x=-6;\qquad \text{(b) } x=\tfrac12 \ \vee\ x=9}$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione