Razionalizzazione del denominatore

Avere una radice al denominatore è “scomodo”: la razionalizzazione consiste nel riscrivere la frazione in modo che il denominatore diventi un numero razionale, moltiplicando opportunamente numeratore e denominatore per una quantità scelta ad hoc. Questa sezione presenta lo schema per riconoscere “per cosa moltiplicare” e le tre tecniche fondamentali.

• Che cos’è la razionalizzazione
• Le tre tecniche di razionalizzazione

Having a root in the denominator is “awkward”: rationalisation consists in rewriting the fraction so that the denominator becomes a rational number, by suitably multiplying numerator and denominator by an ad hoc chosen quantity. This section presents the scheme for recognising “what to multiply by” and the three fundamental techniques.

• What rationalisation is
• The three rationalisation techniques

Avere una radice al denominatore è “scomodo”: la razionalizzazione consiste nel riscrivere la frazione in modo che il denominatore diventi un numero razionale.

Definizione — Razionalizzare

Razionalizzare il denominatore significa riscrivere una frazione in forma equivalente in cui il denominatore non contenga radici.

Il trucco è sempre lo stesso: moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa quantità, scelta in modo che al denominatore le radici spariscano. Lo schema seguente riassume “per cosa moltiplicare” a seconda della forma del denominatore.

In sintesi — Per cosa moltiplico?

Denominatore	Moltiplica per…	Perché funziona
$\sqrt{a}$	$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$	$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$
$\sqrt[3]{a}$	$\dfrac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}$	$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a^2}=a$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$	$\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$	$(\bigcirc+\square)(\bigcirc-\square)=\bigcirc^2-\square^2$
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$	$\dfrac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\cdots}$	$\bigcirc^3+\square^3 = (\bigcirc+\square)(\bigcirc^2-\bigcirc\square+\square^2)$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Coniugato · Razionalizzazione
Metodi: Radicali razionalizzazione
Competenze: Semplificare

Having a root in the denominator is “awkward”: rationalisation consists in rewriting the fraction so that the denominator becomes a rational number.

Definition — To rationalise

To rationalise the denominator means to rewrite a fraction in an equivalent form in which the denominator contains no roots.

The trick is always the same: multiply numerator and denominator by one and the same quantity, chosen so that the roots vanish from the denominator. The following table summarises “what to multiply by” depending on the form of the denominator.

In brief — What do I multiply by?

Denominator	Multiply by…	Why it works
$\sqrt{a}$	$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$	$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$
$\sqrt[3]{a}$	$\dfrac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}$	$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a^2}=a$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$	$\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$	$(\bigcirc+\square)(\bigcirc-\square)=\bigcirc^2-\square^2$
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$	$\dfrac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{\cdots}$	$\bigcirc^3+\square^3 = (\bigcirc+\square)(\bigcirc^2-\bigcirc\square+\square^2)$

Links

Topics: Radicals
Concepts: Conjugate · Rationalisation
Methods: Radical rationalisation
Skills: Simplifying

A seconda della forma del denominatore si applica una delle tre tecniche seguenti.

Proprietà — Tre tecniche

1. Radicale singolo: si moltiplica per la potenza complementare. $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \frac{3}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$

2. Binomio con radici quadrate: si moltiplica per il coniugato $(a-b)$: $\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

3. Binomio con radici cubiche: si usa $a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{2+1} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{3}$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Coniugato · Razionalizzazione
Metodi: Radicali razionalizzazione
Competenze: Calcolare · Semplificare

Depending on the form of the denominator, one of the three techniques below is applied.

Property — Three techniques

1. Single radical: multiply by the complementary power. $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \frac{3}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$

2. Binomial with square roots: multiply by the conjugate $(a-b)$: $\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

3. Binomial with cube roots: use $a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{2+1} = \frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{3}$

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Topics: Radicals
Concepts: Conjugate · Rationalisation
Methods: Radical rationalisation
Skills: Calculating · Simplifying