Equazioni con valore assoluto

Per risolvere un’equazione con il valore assoluto si toglie il modulo studiando il segno del suo argomento, e si controlla che ogni soluzione trovata sia compatibile con la regione in cui è stata ricavata.

Proprietà — Come risolvere $|f(x)|=k$

Per risolvere un’equazione con valore assoluto $|f(x)|=k$:

• si studia il segno dell’argomento $f(x)$;
• si risolve l’equazione in ciascuna regione, togliendo il valore assoluto con il segno appropriato;
• si accettano solo le soluzioni compatibili con la regione considerata.

Esempio

$|4-x^2|-12=0$, cioè $|4-x^2|=12$. Due casi:

1. $4-x^2=12 \implies x^2=-8$: impossibile;
2. $4-x^2=-12 \implies x^2=16 \implies \boxed{x=\pm4}$.

Esempio

$|x^2-5x+6|=2x$. L’argomento $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ha zeri in $x=2$ e $x=3$.

Caso 1 ($x\le2$ oppure $x\ge3$, dove l’argomento è $\ge0$): $x^2-5x+6=2x \implies x^2-7x+6=0 \implies (x-6)(x-1)=0,$ da cui $x=6$ (nella regione $x\ge3$) e $x=1$ (nella regione $x\le2$): entrambe accettabili.

Caso 2 ($2<x<3$, dove l’argomento è $<0$): $-(x^2-5x+6)=2x \implies -x^2+3x-6=0 \implies \Delta=9-24<0,$ impossibile.

Soluzioni: $\boxed{x=1}$ e $\boxed{x=6}$.

Esempio — Equazione con due valori assoluti nel piano

$|y-x|+|y+2|-4=0$. Le rette $y=x$ e $y=-2$ separano il piano in quattro regioni:

In ciascuna regione si toglie il valore assoluto con il segno opportuno e si risolve l’equazione lineare risultante. Ogni regione produce un segmento; i quattro pezzi formano un rombo.

Le rette $y=x$ e $y=-2$ dividono il piano in quattro regioni; in ognuna i moduli si tolgono con segni diversi.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni