Massimo con vincoli lineari

Testo

Determina il massimo valore di $x + y$ sapendo che valgono contemporaneamente i vincoli $2x + y \le 5$ e $x + 3y \le 10$.

Soluzione

Vogliamo rendere $x+y$ il più grande possibile. Conviene spingersi “in alto a destra” fino al bordo della regione ammissibile: il massimo si trova dove i due vincoli valgono con l’uguale. Risolviamo il sistema $\begin{cases} 2x + y = 5\\ x + 3y = 10 \end{cases}$ Dalla prima $y = 5 - 2x$; sostituendo: $x + 3(5-2x) = 10 \implies x + 15 - 6x = 10 \implies -5x = -5 \implies x = 1$, quindi $y = 3$.

In quel punto $x + y = 1 + 3 = 4$. Ogni spostamento verso valori più grandi violerebbe almeno un vincolo, quindi $4$ è il massimo. Verifica: $2\cdot1 + 3 = 5 \le 5$ e $1 + 3\cdot3 = 10 \le 10$. Corretto. $\boxed{\max(x+y) = 4}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Massimo · Studio del segno
Competenze: Modellizzare · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Problema verbale