Dimostrare che $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$ per $a>0$

Testo

Dimostra che, per ogni numero reale $a>0$, $\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\ge 2,$ e stabilisci quando vale l’uguaglianza.

Soluzione

Riduciamo la differenza a un unico rapporto: $\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-2=\frac{a^2+4-4a}{2a}=\frac{(a-2)^2}{2a}.$ Poiché $a>0$, il denominatore è positivo e il numeratore $(a-2)^2\ge 0$; dunque il rapporto è $\ge 0$, ossia $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$. L’uguaglianza vale se e solo se $(a-2)^2=0$, cioè $a=2$. $\boxed{\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\ge 2,\qquad =\ \text{sse } a=2.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Quadrato di binomio
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione