Disequazioni di secondo grado e fratte (variante)

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

• (a) $x^2-x-1\ge 0$
• (b) $x^2+6x+9 \le 0$
• (c) $x^2+2x-3\le 0$
• (d) $\dfrac{-x^2+6x-9}{x^2+2x-3}>0$
• (e) $\dfrac{3}{1-z}+3-3z\le 9$

Soluzione

(a) $x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$; concavità verso l’alto, quindi $\ge 0$ esternamente: $x\le \dfrac{1-\sqrt5}{2} \ \vee\ x\ge \dfrac{1+\sqrt5}{2}$.

(b) $x^2+6x+9=(x+3)^2\le 0$: solo $x=-3$.

(c) $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\le 0 \implies -3\le x\le 1$.

(d) $\dfrac{-x^2+6x-9}{x^2+2x-3}=\dfrac{-(x-3)^2}{(x+3)(x-1)}$. Il numeratore è $\le 0$ (nullo solo in $x=3$), quindi la frazione è $>0$ solo se il denominatore è $<0$: $(x+3)(x-1)<0 \implies -3<x<1$ (dove $x=3$ non rientra).

(e) $\dfrac{3}{1-z}+3-3z-9\le 0 \implies \dfrac{3(z^2+z-1)}{1-z}\le 0 \implies \dfrac{z^2+z-1}{1-z}\le 0$. Radici del numeratore $z=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$, denominatore nullo in $z=1$. Studio del segno: $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\le z\le \dfrac{-1+\sqrt5}{2} \ \vee\ z>1$.

$\boxed{\begin{aligned} &\text{(a) } x\le \tfrac{1-\sqrt5}{2} \vee x\ge \tfrac{1+\sqrt5}{2}; \quad \text{(b) } x=-3; \quad \text{(c) } -3\le x\le 1;\\ &\text{(d) } -3<x<1; \quad \text{(e) } \tfrac{-1-\sqrt5}{2}\le z\le \tfrac{-1+\sqrt5}{2} \vee z>1\end{aligned}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Disequazione secondo grado · Studio del segno · Tabella dei segni
Competenze: Risolvere disequazioni · Scomporre
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione