Teorema dell'angolo esterno

Questo è uno dei teoremi più potenti della geometria elementare. In due versioni successive stabilisce prima una disuguaglianza (l’angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente) e poi un’uguaglianza (l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti).

• Che cos’è un angolo esterno
• L’angolo esterno è maggiore degli interni non adiacenti
• L’angolo esterno come somma degli interni non adiacenti

This is one of the most powerful theorems of elementary geometry. In two successive versions it establishes first an inequality (the exterior angle is greater than each non-adjacent interior angle) and then an equality (the exterior angle is equal to the sum of the two non-adjacent interior angles).

• What an exterior angle is
• The exterior angle is greater than the non-adjacent interior angles
• The exterior angle as the sum of the non-adjacent interior angles

Prima di enunciare il teorema, fissiamo con precisione di quale angolo stiamo parlando.

Definizione — Angolo esterno

Un angolo esterno di un triangolo è l’angolo adiacente a un angolo interno, formato dal prolungamento di un lato.

Poiché è adiacente all’angolo interno, l’angolo esterno e l’angolo interno corrispondente sono supplementari: insieme formano un angolo piatto.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Angolo esterno · Triangolo

Before stating the theorem, let us pin down precisely which angle we are talking about.

Definition — Exterior angle

An exterior angle of a triangle is the angle adjacent to an interior angle, formed by the extension of a side.

Since it is adjacent to the interior angle, the exterior angle and the corresponding interior angle are supplementary: together they form a straight angle.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Angle · Exterior angle · Triangle

La prima versione del teorema dell’angolo esterno è una disuguaglianza, e vale in modo del tutto generale, senza bisogno di conoscere la somma degli angoli interni.

Teorema — Angolo esterno (disuguaglianza)

In ogni triangolo, un angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti.

Dimostrazione

La costruzione: $M$ punto medio di $BC$, $MD\cong AM$; l’angolo $\widehat{DBM}$ è solo una parte dell’angolo esterno in $B$.

Success

1. Costruzione. Sia $M$ il punto medio di $BC$. Congiungiamo $A$ con $M$ e prolunghiamo oltre $M$ di un segmento $MD\cong AM$. Congiungiamo $D$ con $B$.
2. Considero. I triangoli $ACM$ e $DBM$: $AM\cong MD$ (costruzione), $CM\cong MB$ ($M$ punto medio), $\widehat{AMC}\cong\widehat{DMB}$ (opposti al vertice).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle ACM\cong\triangle DBM$, dunque $\widehat{ACM}\cong\widehat{DBM}$.
4. Osservo. Ora, $\widehat{DBM}$ è solo una parte dell’angolo esterno in $B$, dunque l’angolo esterno è maggiore di $\widehat{ACM} = \widehat{ACB}$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli opposti al vertice · Angolo esterno · Criteri congruenza · Dimostrazione
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The first version of the exterior angle theorem is an inequality, and it holds completely generally, without needing to know the sum of the interior angles.

Theorem — Exterior angle (inequality)

In every triangle, an exterior angle is greater than each of the two non-adjacent interior angles.

Proof

The construction: $M$ the midpoint of $BC$, $MD\cong AM$; the angle $\widehat{DBM}$ is only a part of the exterior angle at $B$.

Success

1. Construction. Let $M$ be the midpoint of $BC$. We join $A$ to $M$ and extend beyond $M$ by a segment $MD\cong AM$. We join $D$ to $B$.
2. I consider. The triangles $ACM$ and $DBM$: $AM\cong MD$ (construction), $CM\cong MB$ ($M$ midpoint), $\widehat{AMC}\cong\widehat{DMB}$ (vertically opposite).
3. I deduce. By the first criterion: $\triangle ACM\cong\triangle DBM$, therefore $\widehat{ACM}\cong\widehat{DBM}$.
4. I observe. Now, $\widehat{DBM}$ is only a part of the exterior angle at $B$, therefore the exterior angle is greater than $\widehat{ACM} = \widehat{ACB}$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Vertically opposite angles · Exterior angle · Congruence criteria · Proof
Skills: Proving · Synthetic geometry

Se si conosce già che la somma degli angoli interni di un triangolo è $\pi$, la disuguaglianza precedente si rafforza in un’uguaglianza precisa.

Teorema — Angolo esterno (uguaglianza)

Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti: $\delta = \alpha + \beta.$

Dimostrazione

Sia $\delta$ l’angolo esterno adiacente all’angolo $\gamma$. Basta mettere insieme due fatti noti.

1. Osservo. $\delta + \gamma = \pi$ (perché $\delta$ e $\gamma$ sono supplementari).
2. Osservo. $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ (somma degli angoli interni di un triangolo).
3. Deduco. Confrontando le due relazioni: $\delta = \pi - \gamma = \alpha + \beta$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo esterno · Dimostrazione · Somma angoli triangolo
Competenze: Dimostrare

If one already knows that the sum of the interior angles of a triangle is $\pi$, the previous inequality is strengthened into a precise equality.

Theorem — Exterior angle (equality)

An exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two non-adjacent interior angles: $\delta = \alpha + \beta.$

Proof

Let $\delta$ be the exterior angle adjacent to the angle $\gamma$. It is enough to put together two known facts.

1. I observe. $\delta + \gamma = \pi$ (because $\delta$ and $\gamma$ are supplementary).
2. I observe. $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ (sum of the interior angles of a triangle).
3. I deduce. Comparing the two relations: $\delta = \pi - \gamma = \alpha + \beta$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Exterior angle · Proof · Sum of the angles of a triangle
Skills: Proving