Ordine totale e il minore stretto

Testo

Verifica che la relazione $\le$ su $\mathbb{Z}$ è un ordine totale e che $<$ non è una relazione d’ordine (quale proprietà manca?).

Soluzione

Per $\le$ su $\mathbb{Z}$:

• Riflessiva: $a\le a$ per ogni $a$.
• Antisimmetrica: se $a\le b$ e $b\le a$ allora $a=b$.
• Transitiva: se $a\le b$ e $b\le c$ allora $a\le c$.
• Totale: dati due interi qualsiasi, vale $a\le b$ oppure $b\le a$.

Quindi $\le$ è un ordine totale.

La relazione $<$ non è riflessiva, perché $a<a$ è falsa per ogni $a$. Manca dunque la riflessività: $<$ non è una relazione d’ordine (nel senso qui adottato, di ordine “largo”). $\boxed{\text{Manca la riflessività}}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Ordine totale · Relazione d ordine
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione