Induzione la somma dei primi n numeri dispari

Testo

Dimostra per induzione che, per ogni intero $n \ge 1$, $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2.$

Soluzione

Base ($n=1$): il primo membro è $1$ e il secondo è $1^2 = 1$. Vero.

Passo induttivo: supponiamo vera l’uguaglianza per $n = k$, cioè $1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^2.$ Aggiungendo il $(k+1)$-esimo dispari, che è $2(k+1)-1 = 2k+1$: $1 + 3 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2.$ Questa è la tesi per $n = k+1$. Per il principio di induzione l’uguaglianza vale per ogni $n \ge 1$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione