Inclusione e intersezione uguale al sottoinsieme

Testo

Siano $A$ e $B$ insiemi. Dimostra che $B \subseteq A$ se e solo se $A \cap B = B$.

Soluzione

Si tratta di un “se e solo se”: dimostriamo le due implicazioni.

($\Rightarrow$) Supponiamo $B \subseteq A$. Sappiamo già che $A \cap B \subseteq B$. Viceversa, sia $x \in B$: poiché $B \subseteq A$ si ha anche $x \in A$, quindi $x \in A \cap B$. Dunque $B \subseteq A \cap B$. Dalle due inclusioni $A \cap B = B$.

($\Leftarrow$) Supponiamo $A \cap B = B$. Se $x \in B$, allora $x \in A \cap B$, quindi in particolare $x \in A$. Perciò $B \subseteq A$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Intersezione · Sottoinsieme
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione