Somma dei cubi per induzione

Testo

Dimostra per induzione che $\displaystyle\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

Soluzione

Base ($n=1$): $1^3=1$ e $\left(\dfrac{1\cdot 2}{2}\right)^2=1$. Vero.

Passo: supponiamo $\displaystyle\sum_{i=1}^k i^3=\left(\dfrac{k(k+1)}{2}\right)^2$ e aggiungiamo $(k+1)^3$: $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3 = (k+1)^2\left[\frac{k^2}{4}+(k+1)\right] = (k+1)^2\,\frac{k^2+4k+4}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2,$ che è la formula per $n=k+1$. Per induzione la tesi vale per ogni $n\ge 1$. ∎

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione