Sistema lineare con parametro (riduzione)

Testo

Dato il sistema con parametro $a$: $\begin{cases} 5x-4y=-2\\ 2x+ay=25 \end{cases}$

• (a) risolvilo dopo aver posto $a=7$;
• (b) mostra che per $a=-\dfrac{8}{5}$ il sistema è impossibile.

Soluzione

(a) Con $a=7$: $\begin{cases} 5x-4y=-2\\ 2x+7y=25 \end{cases}$. Con il metodo di riduzione moltiplico la prima per $2$ e la seconda per $5$: $\begin{cases} 10x-8y=-4\\ 10x+35y=125 \end{cases}$ Sottraendo la prima dalla seconda: $43y=129 \implies y=3$. Sostituendo nella prima: $5x-12=-2 \implies x=2$. $\boxed{x=2,\quad y=3}$

(b) Con $a=-\dfrac85$ la seconda equazione è $2x-\dfrac85 y=25$; moltiplicandola per $\dfrac52$ si ottiene $5x-4y=\dfrac{125}{2}$. Ma la prima equazione impone $5x-4y=-2$. La stessa combinazione $5x-4y$ dovrebbe valere contemporaneamente $-2$ e $\dfrac{125}{2}$: assurdo. Il sistema è quindi impossibile (le due rette sono parallele). $\boxed{a=-\tfrac85 \Rightarrow \text{sistema impossibile}}$

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Metodo di riduzione · Parametro · Sistema impossibile
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema