Sistema con parametro risolto con Cramer

Testo

Dato il sistema con parametro $a$: $\begin{cases} -2y+ax=2\\ x+y=1 \end{cases}$

• (a) risolvilo con la regola di Cramer per $a=1$;
• (b) determina un valore di $a$ per cui il sistema è impossibile, sempre con il metodo di Cramer.

Soluzione

Scrivo il sistema in forma ordinata: $\begin{cases} ax-2y=2\\ x+y=1 \end{cases}$, con matrice dei coefficienti $A=\begin{pmatrix} a & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ e $\det A = a+2$.

(a) Con $a=1$: $\det A=3$. $x=\frac{\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}}{3}=\frac{2+2}{3}=\frac43,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1\end{vmatrix}}{3}=\frac{1-2}{3}=-\frac13.$ $\boxed{x=\frac43,\quad y=-\frac13}$

(b) Il sistema è impossibile quando $\det A=0$ ma i determinanti dei numeratori non sono entrambi nulli. $\det A=a+2=0 \implies a=-2$. Con $a=-2$ il numeratore di $x$ è $\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}=4\neq 0$: nessuna soluzione, quindi il sistema è impossibile. $\boxed{a=-2}$

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Determinante · Parametro · Regola di cramer · Sistema impossibile
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema