Domanda, offerta e prezzo di equilibrio

Un’applicazione classica dei sistemi $2\times 2$ è la modellizzazione del mercato di un bene attraverso le sue curve di domanda e di offerta. Imponendo l’uguaglianza tra le due si trova il prezzo di equilibrio: l’intersezione di due rette nel piano prezzo-quantità. Vediamo il modello lineare, un esempio numerico sul mercato del grano e l’effetto di una tassa.

• Curve di domanda e offerta
• Il prezzo di equilibrio
• Esempio, equilibrio nel mercato del grano
• Fuori dall’equilibrio
• Effetto di una tassa

A classic application of $2\times 2$ systems is modelling the market of a good through its demand and supply curves. By imposing equality between the two you find the equilibrium price: the intersection of two lines in the price-quantity plane. We look at the linear model, a numerical example on the wheat market and the effect of a tax.

• Demand and supply curves
• The equilibrium price
• Example, equilibrium in the wheat market
• Away from equilibrium
• Effect of a tax

Un’applicazione classica dei sistemi $2\times 2$ è la modellizzazione del mercato di un bene attraverso le sue curve di domanda e di offerta.

Definizione — Domanda e offerta

Fissato un bene, indichiamo con $p$ il prezzo unitario e con $Q$ la quantità (in unità o tonnellate). Le curve di domanda e offerta sono due relazioni $Q=Q(p)$ empiriche, dedotte da osservazioni di mercato:

• domanda $Q_d(p)$: quantità che i consumatori sono disposti ad acquistare al prezzo $p$. È decrescente in $p$ (se costa di più, ne compri di meno).
• offerta $Q_s(p)$: quantità che i produttori sono disposti a vendere al prezzo $p$. È crescente in $p$ (se vendi a di più, ne produci di più).

Nel modello lineare (valido in piccoli intervalli): $Q_d(p) = a - b\,p, \qquad Q_s(p) = -c + d\,p, \qquad a,b,c,d > 0.$

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Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Domanda e offerta · Modello lineare
Metodi: Domanda offerta
Competenze: Modellizzare

A classic application of $2\times 2$ systems is modelling the market of a good through its demand and supply curves.

Definition — Demand and supply

Given a good, we denote by $p$ the unit price and by $Q$ the quantity (in units or tonnes). The demand and supply curves are two empirical relationships $Q=Q(p)$, deduced from market observations:

• demand $Q_d(p)$: the quantity consumers are willing to buy at price $p$. It is decreasing in $p$ (if it costs more, you buy less of it).
• supply $Q_s(p)$: the quantity producers are willing to sell at price $p$. It is increasing in $p$ (if you sell for more, you produce more of it).

In the linear model (valid over small intervals): $Q_d(p) = a - b\,p, \qquad Q_s(p) = -c + d\,p, \qquad a,b,c,d > 0.$

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Topics: Linear systems
Concepts: Supply and demand · Linear model
Methods: Supply demand
Skills: Model

Il mercato trova il suo punto di riposo quando la quantità domandata eguaglia quella offerta: matematicamente, è la soluzione del sistema formato dalle due curve.

Definizione — Equilibrio di mercato

Il prezzo di equilibrio $p^\ast$ e la quantità di equilibrio $Q^\ast$ si trovano imponendo $Q_d = Q_s$: $a - b\,p = -c + d\,p \implies p^\ast = \frac{a+c}{b+d}, \qquad Q^\ast = a - b\,p^\ast.$ Geometricamente è l’intersezione delle due rette nel piano $(p,Q)$.

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Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Domanda e offerta · Prezzo di equilibrio
Competenze: Modellizzare · Risolvere sistemi

The market finds its resting point when the quantity demanded equals the quantity supplied: mathematically, it is the solution of the system formed by the two curves.

Definition — Market equilibrium

The equilibrium price $p^\ast$ and the equilibrium quantity $Q^\ast$ are found by imposing $Q_d = Q_s$: $a - b\,p = -c + d\,p \implies p^\ast = \frac{a+c}{b+d}, \qquad Q^\ast = a - b\,p^\ast.$ Geometrically it is the intersection of the two lines in the $(p,Q)$ plane.

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Un esempio numerico mostra come trovare il prezzo di equilibrio e come rappresentarlo graficamente come intersezione delle due rette.

Esempio — Equilibrio nel mercato del grano

In una piccola regione il mercato del grano è descritto (in migliaia di tonnellate, prezzo in EUR/q): $Q_d(p) = 200 - 5\,p, \qquad Q_s(p) = -40 + 3\,p.$ Equilibrio: $200-5p=-40+3p \implies 240=8p \implies p^\ast=\boxed{30}\text{ EUR/q}, \quad Q^\ast=200-150=\boxed{50}\text{ kt}.$

Le rette di domanda ($Q_d$, in blu) e offerta ($Q_s$, in verde) si incontrano nel punto di equilibrio $E$: prezzo $30$ EUR/q, quantità $50$ kt.

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Concetti: Domanda e offerta · Prezzo di equilibrio
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare · Risolvere sistemi

A numerical example shows how to find the equilibrium price and how to represent it graphically as the intersection of the two lines.

Example — Equilibrium in the wheat market

In a small region the wheat market is described (in thousands of tonnes, price in EUR/q): $Q_d(p) = 200 - 5\,p, \qquad Q_s(p) = -40 + 3\,p.$ Equilibrium: $200-5p=-40+3p \implies 240=8p \implies p^\ast=\boxed{30}\text{ EUR/q}, \quad Q^\ast=200-150=\boxed{50}\text{ kt}.$

The demand ($Q_d$, in blue) and supply ($Q_s$, in green) lines meet at the equilibrium point $E$: price $30$ EUR/q, quantity $50$ kt.

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Che cosa accade se il prezzo non è quello di equilibrio? Il modello spiega perché il mercato tende spontaneamente a riportarsi verso $p^\ast$.

Osservazione — Cosa succede fuori dall'equilibrio

• Se $p>p^\ast$: $Q_s>Q_d$, c’è eccesso di offerta, i produttori invenduti abbassano il prezzo.
• Se $p<p^\ast$: $Q_d>Q_s$, c’è eccesso di domanda, i consumatori spingono il prezzo verso l’alto.

Il prezzo di equilibrio è dunque uno stato stabile, raggiunto spontaneamente dal mercato in condizioni ideali (concorrenza perfetta, informazione completa). Negli scenari reali — monopoli, oligopoli, asimmetrie informative — l’equilibrio può non esistere o non essere stabile (oggetto della microeconomia avanzata).

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What happens if the price is not the equilibrium one? The model explains why the market spontaneously tends to return towards $p^\ast$.

Observation — What happens away from equilibrium

• If $p>p^\ast$: $Q_s>Q_d$, there is an excess of supply, unsold producers lower the price.
• If $p<p^\ast$: $Q_d>Q_s$, there is an excess of demand, consumers push the price upwards.

The equilibrium price is therefore a stable state, reached spontaneously by the market under ideal conditions (perfect competition, complete information). In real scenarios — monopolies, oligopolies, informational asymmetries — the equilibrium may not exist or may not be stable (the subject of advanced microeconomics).

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Introdurre un’imposta sposta la curva d’offerta e cambia il punto di equilibrio: il modello permette di calcolare come il carico fiscale si ripartisce tra consumatori e produttori.

Esempio — Effetto di una tassa

Si introduce un’imposta di $4$ EUR/q a carico dei produttori. La curva d’offerta si sposta: per offrire la stessa quantità il produttore vuole un prezzo lordo più alto di $4$: $Q_s^{\text{nuovo}}(p) = -40 + 3(p-4) = -52 + 3\,p.$ Nuovo equilibrio: $200-5p=-52+3p\Rightarrow p^{\ast\ast}=31{,}5$, $Q^{\ast\ast}=42{,}5$.

• I consumatori pagano $1{,}5$ EUR/q in più ($30\to 31{,}5$): hanno sopportato $\tfrac{1{,}5}{4}=37{,}5\%$ della tassa.
• I produttori incassano $31{,}5-4=27{,}5$ EUR/q ($30\to 27{,}5$): sopportano il restante $62{,}5\%$.

Il carico fiscale si ripartisce secondo le elasticità delle due curve: tanto più rigida (poco elastica) è una curva, tanta più imposta finisce a carico di chi sta da quel lato (Varian). Il concetto di elasticità come “derivata logaritmica” lo riprenderemo studiando le funzioni esponenziali e logaritmiche.

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Introducing a tax shifts the supply curve and changes the equilibrium point: the model lets us compute how the tax burden is shared between consumers and producers.

Example — Effect of a tax

A tax of $4$ EUR/q is introduced, payable by the producers. The supply curve shifts: to supply the same quantity the producer wants a gross price higher by $4$: $Q_s^{\text{nuovo}}(p) = -40 + 3(p-4) = -52 + 3\,p.$ New equilibrium: $200-5p=-52+3p\Rightarrow p^{\ast\ast}=31{,}5$, $Q^{\ast\ast}=42{,}5$.

• Consumers pay $1{,}5$ EUR/q more ($30\to 31{,}5$): they have borne $\tfrac{1{,}5}{4}=37{,}5\%$ of the tax.
• Producers collect $31{,}5-4=27{,}5$ EUR/q ($30\to 27{,}5$): they bear the remaining $62{,}5\%$.

The tax burden is shared according to the elasticities of the two curves: the more rigid (less elastic) a curve is, the more tax ends up borne by whoever is on that side (Varian). The concept of elasticity as a “logarithmic derivative” we will revisit when studying exponential and logarithmic functions.

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