Equazione fratta con parametro

Testo

Data l’equazione fratta nell’incognita $x$ e dipendente dal parametro $a$: $\frac{1}{2x+a}-\frac{1}{a-2x}=\frac{1}{4}$

• (a) risolvila per $a=3$;
• (b) trova il valore di $a$ per cui $x=4$ è soluzione.

Soluzione

(a) Con $a=3$ l’equazione diventa $\dfrac{1}{2x+3}-\dfrac{1}{3-2x}=\dfrac{1}{4}$, con condizioni di esistenza $x\neq -\tfrac32$ e $x\neq \tfrac32$. Il denominatore comune al primo membro è $(2x+3)(3-2x)=9-4x^2$, e il numeratore è $(3-2x)-(2x+3)=-4x$: $\frac{-4x}{9-4x^2}=\frac14 \implies -16x = 9-4x^2 \implies 4x^2-16x-9=0.$ $x=\frac{16\pm\sqrt{256+144}}{8}=\frac{16\pm 20}{8}\implies x=\frac92 \ \vee\ x=-\frac12.$ Entrambi rispettano le condizioni di esistenza. $\boxed{x=\frac92 \ \vee\ x=-\frac12}$

(b) Imponendo $x=4$: $\dfrac{1}{8+a}-\dfrac{1}{a-8}=\dfrac14$. Il denominatore comune è $a^2-64$ e il numeratore $(a-8)-(8+a)=-16$: $\frac{-16}{a^2-64}=\frac14 \implies -64=a^2-64 \implies a^2=0 \implies a=0.$ Verifica: con $a=0$ l’equazione è $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{x}=\dfrac14$, cioè $x=4$. $\boxed{a=0}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni primo grado
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione fratta · Parametro
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione